Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



42    1 Zum grammatischen Rahmen

Gelte die Behauptung nun fur {θ0, ., θr-1} TERM und sei θ = rφ(θ0, ., θr-1)π
FTERM. Dann ist [β*fc, βfc, [<β*o, ., β*k>, <βo, ., βk>, θ]] = [β*k, βk, [<β*o, ., β*k>,
<βo, ., βfc4>, rφ(θo, ., θ -I Il = rφ([β*, βk, [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, θo]], ., [β*fc,
β
k, [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, θ ) . Mit I.V. gilt [β*k, βk, [(β*o, ., β*k), (βo, .,
β
k>, θi]] = [<β*o, ., β*k>, <βo, ., βk>, θi] fur alle ir. Also [β*k, βk, [<β*o, ., β*k>, <βo,
., β
fc>, θ]] = rφ([(β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, θo], ., [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, θ -]) =
[
<β*o, ., β*k>, (βo, ., βk>, rφ(θo, ., θ -) ] = [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, θ].

Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion uber den Formelaufbau von Δ gefuhrt. Sei Δ
=
rΦ(θo, . θr-1)^l AFORM. Der Fall verlauft analog zum FTERM-Fall unter Verwen-
dung von (i).

Gelte die Behauptung nun fur Δo, Δ1 FORM und sei Δ = rΔo^l JFORM. Dann ist
[β*
k, βk, [(β*o, ., β*fc-1>, (βo, ., βfc-1>, Δ]] = [β*k, βk, [<β*o, ., β*k-1>, (βo, ., βk-1>,
Γ-Δ] = ■-[β*k, βk, [<β*0, ., β*k), (βo, ., βk), Δo]Γ. Mit I.V. gilt [β*k, βk, [<β*o, .,
β*
k>, (βo, ., βk), Δo]] = [(β*o, ., β*k>, (βo, ., βk>, Δo]. Also [β*k, βk, [(β*o, ., β*k),
(βo, ., βfc-1>, Δ]] = r-[(β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, Δ ] = [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>,
Δ ] = [<β*o, ., β*fc>, (βo, ., βfc>, Δ]. Sei Δ = ro ψ Δl)' JFORM. Der Fall verlauft
analog zum Negatorfall. Sei Δ =
rΠξΔo^l QFORM. Der Fall verlauft analog zum Nega-
torfall.

Zu (iii) und (iv): (iii) ergibt sich analog zum Negatorfall unter Verwendung von (ii). (iv)
ergibt sich analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (iii). ■

Hinweis: Ein zu Theorem --27 analoges Theorem lasst sich fur Formelmengen zeigen.

Theorem 1-28. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen fur paarweise verschiedene
Variablen in Termen und Formeln (a)

Wenn k N{o}, {θ*o, ., θ*k} GTERM und {ξo, ., ξk} VAR, wobei ξi ≠ ξj∙ fur alle i, j
< k+1 mit ij, dann:

(i) Wenn θ TERM, dann

[θ*k, ξk, [(θ*o, ., θ*k>, (ξo, ., ξk>, θ]] = [(θ*o, ., θ*k), (ξo, ., ξk>, θ], und

(ii) Wenn Δ FORM, dann

[θ*k, ξk, [(θ*o, ., θ*k-1>, (ξo, ., ξk-1>, Δ]] = [(θ*o, ., θ*k>, (ξo, ., ξk>, Δ].

Beweis: Seien k N\{o}, {θ*o, ., θ*k} GTERM und {ξo, ., ξk} VAR, wobei ξi
ξ
j fur alle i, j k+1 mit i j. Zu (i): Sei θ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion
uber den Termaufbau von θ gefuhrt. Sei θ
ATERM. Angenommen ξi ≠ θ fur alle i <



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